Fondamenti della meccanica atomica
In molte questioni ha interesse la considerazione dei valori di x per i quali una autofunzione si annulla (nodi dell'autofunzione): enunceremo perciò
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Così abbiamo ottenuto l'integrale che figura nella (68), la quale perciò diviene
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Ciò significa che la particella, attraversando la fessura, potrà essere deviata dalla direzione primitiva di un angolo che può andare da a : perciò
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D'altra parte, non si può dire in quale istante dell'intervallo la particella abbia ricevuto l'impulso che ha mutato la in vx: perciò sulla x della
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, e quindi deve risultare uguale ad 1: perciò la deve soddisfare la condizione
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e perciò
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in cui i coefficienti sono indipendenti dall'indice n: perciò questa equazione è soddisfatta da tutte le componenti e dunque anche da qualsiasi loro
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Supponiamo perciò (come nella nota al § 25) che vi sia non uno ma un gran numero N di sistemi nelle stesse condizioni (e non agenti tra loro): la
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superficie : perciò dovrà aversi
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Nella trattazione ondulatoria, dovremo invece osservare che in questo caso e sono immaginari: perciò porremo
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: perciò R può chiamarsi coefficiente di riflessione del gradino, mentre
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a) Caso di . In tal caso e sono reali, e perciò il secondo membro della (199) si può scrivere
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con k' e reali. Perciò la (199) diverrà
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Come si vede, essendo A reale, è impossibile che si annulli il numeratore di questa frazione, e perciò la serie non si riduce mai ad un polinomio: la
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Si osservi anzitutto che per , U tende a e quindi p a : ne segue che l'esponente del primo termine tende a e perciò, affinchè la u per tenda a zero
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quindi delle : si conclude che l'energia può assumere solo valori discreti, dipendenti dagli f numeri interi e perciò denotabili con .
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perciò, se si definisce un nuovo numero quantico (non negativo) k, ponendo
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(1) Si osservi che ha ancora il significato di momento angolare totale del sistema: perciò il quanto azimutale k conserva il suo significato .
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Nel caso dei sistemi idrogenoidi, i livelli delle varie colonne coinciderebbero tutti (nella nostra approssimazione) e perciò si rappresentano in una
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Osserviamo perciò che, detto il periodo del moto kepleriano, per un punto qualsiasi della traiettoria passa, volte al secondo, la carica e: perciò è
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e perciò, integrando per un intero periodo
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Si osservi ora che p è sempre multiplo intero di , secondo la (329) o meglio la (329'), perciò si potrà scrivere
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Ricordiamo perciò anzitutto dalla meccanica razionale (v. § 52) che l'energia E di un sistema multiplamente periodico si può esprimere nella forma
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Ciò premesso, nel salto quantico di cui sopra gli integrali di fase passano dai valori ai valori : perciò l'energia emessa è
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Lo spettro fittizio che abbiamo convenuto di chiamare classico si compone, perciò, di righe che sono individuate da due gruppi di indici: (che
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(1) In tutto questo capitolo si tratterà solo di vettori uscenti dall'origine: perciò ad ogni punto corrisponde un vettore, e viceversa.
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Questo spazio si chiama perciò spazio funzionale. Si può anche dire che la funzione f(x) è rappresentata da un punto nello spazio funzionale e
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evidentemente gli stessi coefficienti : perciò è opportuno considerare due funzioni siffatte come rappresentate dallo stesso vettore (o punto) dello spazio
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: perciò talvolta scriveremo anche, p. es.,. Noi supporremo sempre tale corrispondenza biunivoca.
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Perciò la (12) si può anche scrivere
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Dimostriamo ora che la condizione è sufficiente. Supponiamo perciò che valga la (61) e chiamiamo una generica autofunzione di appartenente
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Dimostriamo dapprima che la condizione è necessaria. Supponiamo perciò che esista un sistema completo di funzioni ortogonali ... che siano ad un
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L'integrale rispetto a è uguale a 1 se è interno all'intervallino , altrimenti è nullo: perciò, detto il tratto comune (eventualmente nullo) ai due
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siano degeneri: allora ogni asse principale di è anche un asse principale di , cui potremo attribuire lo stesso indice, e perciò, dopo eseguita
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contenuta nella parentesi quadra: rappresenteremo perciò simbolicamente la derivata dell'osservabile G con la formula
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Perciò l'equazione delle autofunzioni diviene, detto un autovalore generico
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Consideriamo ora l'osservabile M, modulo del momento angolare della particella rispetto all'origine. Classicamente si ha : perciò assumeremo come
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autovalori sono, come si è visto, con . Perciò i valori che può assumere l'osservabile M, momento dell'impulso, sono dati da
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(ossia, definirà una rotazione piccolissima degli assi di riferimento), e perciò la scriveremo nella forma
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, trascurando il prodotto del secondo ordine , e sostituendo perciò con la sua prima approssimazione ,
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differenza di lunghezza d'onda delle varie componenti è, nell'idrogeno, al massimo dell'ordine di qualche decimo di Ångström e perciò è rivelabile solo
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autovalori e perciò saranno rappresentati da matrici di due sole righe e colonne: saranno cioè della forma
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e analogamente per la (11'). Se il campo magnetico è nullo o trascurabile, ciascuna delle due soddisfa l'ordinaria equazione di Schrödinger: perciò
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dove è posto ; perciò la condizione che esso sia nullo equivale a
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Perciò la (312) si può scrivere:
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che è quadratica in , mentre la corrispondente relazione della meccanica classica è lineare: perciò anche nella meccanica relativistica non
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Le esperienze che descriveremo nei §§ successivi riguardano appunto l'eccitazione di atomi urtati da un elettrone: perciò premettiamo alcune
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Variando le condizioni dell'esperienza si può tuttavia fare in modo che ciò non accada (occorre perciò diminuire la pressione del gas) e allora nella
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Zeeman: perciò i termini dipendono normalmente solo dai primi due.
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Perciò inviando i raggi normalmente al cristallo nel modo descritto, in generale non si avrà nessun fascio diffratto, tranne il caso che λ' abbia un
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Accademia della crusca
